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--- fisica:informatica:201415:esercitazioni:esercitazione3bis [21/01/2015 alle 15:08 (10 anni fa)] – [Esercitazione 3 bis] Susanna Pelagatti
+++ fisica:informatica:201415:esercitazioni:esercitazione3bis [28/02/2015 alle 08:24 (10 anni fa)] (versione attuale) – [Esercizio 1: Approssimazione dell'integrale] Susanna Pelagatti
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Esercitazione 3 ======
+Per la soluzione di questi esercizi utilizzare dove serve la libreria matematica
+[[http://www.tutorialspoint.com/c_standard_library/math_h.htm|La libreria matematica ''math.h'']]
+Includendo all'inizio l'header file
+<code>
+#include <math.h>
+</code>
+e compilando con
+<code>
+gcc -Wall -pedantic file.c -o nome_eseguibile -lm
+</code>
 ===== Esercizio 1: Approssimazione dell'integrale ======
 Consideriamo la funzione
@@ Linea 14: / Linea 24: @@
 il procedimento dei trapezio per ''n = 2, 3, 4,...nmax''. Stampando su standard output i valori ottenuti e la differenza con l'integrale esatto calcolato analiticamente.
+===== Esercizio 2: Calcolo della radice quadrata ======
+Dato un numero reale positivo //a// si consideri la sequenza dei numeri reali //x// definita da
+<code>
+x[0] = 1
+x[i+1] = 1/2*(x[i] + a/x[i])
+</code>
+si puo' dimostrare che ''x[i]'' tende alla radice quadrata di //a// per //i// che tende all'infinito.
+Scrivere un programma che legga il valore di //a// da standard input e calcoli la radice quadrata di //a// utilizzando la sequenza. In particolare, si calcoli la sequenza fino a che ''x[i]'' non diventa uguale a ''x[i+1]'', il valore ottenuto e' l'approssimazione cercata per la radice quadrata di //a//.
+Ad ogni ciclo, far stampare su standard output il numero dell'iterazione ''i'', il valore di ''x[i]'' ed il valore di ''a-x[i]*x[i]'' per controllare la convergenza.
+===== Esercizio 2: L'insieme di Mandelbrot ======
+L'[[http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Mandelbrot|insieme di Mandelbrot]]e' un insieme frattale definito come l'insieme dei numeri complessi //c// per i quali la successione definita da:
+<code>
+z(0) = 0
+z(n+1) = z(n)^2 + c
+</code>
+e' limitata, cioe' ''|z( n )|< 2'' per ogni ''n >=0''.
+Infatti al variare di ''c'', la sequenza puo' tendere
+all’infinito o rimanere confinata in un disco di raggio 2 del piano complesso centrato
+nell’origine.
+L’algoritmo piu' semplice per visualizzare (una approssimazione de) l’insieme di Mandelbrot ´e l’//Escape Time Algorithm//. In questo algoritmo, dati ''A'' (l’area del piano complesso
+da visualizzare) ed ''r'' (una precisione fissata) si effettuano i seguenti passi:
+  - Si suddivide A in una griglia di punti a distanza uniforme (pixel)
+  - per ogni pixel (x, y)
+      - si calcolano r valori della sequenza con c=(x,y)
+      - se dopo r iterazioni ''|z( r )|<= 2'' si considera c appartenente all'insieme e si assegna a c il colore NERO
+  - altrimenti si assegna a c il colore j, che e' il minimo indice per cui ''| z(j) |>=2''
+Di seguito viene mostrato un possibile pseudocodice per il calcolo del singolo pixel:
+<code>
+Per ogni pixel:
+{
+x = x0 = x co-ordinate of pixel
+y = y0 = y co-ordinate of pixel
+x2 = x*x
+y2 = y*y
+iteration = 0
+maxiteration = 1000
+while ( x2 + y2 < (2*2)
+AND iteration < maxiteration )
+{
+y = 2*x*y + y0
+x = x2 - y2 + x0
+x2 = x*x
+y2 = y*y
+iteration = iteration + 1
+}
+if ( iteration == maxiteration )
+colour = black
+else
+colour = iteration
+}
+</code>
+Nel codice, le coordinate del pixel (x, y) sono usate come valore iniziale per il calcolo. Il risultato di ogni iterazione e' usato come punto d’inizio della successiva. Ad ogni
+iterazione si controlla se siamo usciti dal cerchio di raggio 2 (e quindi se (x,y) non
+appartiene a M), se questo e' vero si assegna il numero di iterazioni come colore a (x, y) e
+si considera il prossimo punto, altrimenti si calcola la nuova iterazione. Quindi, rispetto
+alla definizione iniziale:
+<code>
+z = x + iy
+c = x0 + iy0
+z^2 = x^2 + i2xy − y^2.
+</code>
+Inoltre, ''r'' e' ''maxiteration''(1000).
+Scrivere un programma C che calcola l'insieme di Mandelbrot per il rettangolo di estremi (-2,1) (1,-1) e stampando sullo standard output i colori dei pixel suppenendo di dividere il rettangolo in 100x100 pixel.